ERROR EN LA CONSULTA

Tengo muchas cosas que pueden solucionar tu codigo y hacerlo mas ágil. Pero me di cuenta que falta algo que es fundamental. Y es el else que sigue al if() del inicio. Y además te mostrare como conectarte a la base de una forma segura. Con statements.

<?php
include ("conecta.php");

if (mysqli_connect_errno()) {
    echo "Error connecting to database. ".mysqli_connect_error();
}else{

//No es necesario iniciar la sesion antes. Ya que el usuario no esta ni autentificado.

$usuario = $_POST['usuario']; /*No es necesario escapar las variables ya que los Prepared statements hacen eso por nosotros.*/
// No hagas modificaciones al password que tecleó el usuario
$password = $_POST['password'];

if (!$usuario || !$password) {
    //No estabas devolviendo nada. La forma correcta es esta.
    return "Both fields must be filled out."; 
}

// Busca solo por nombre de usuario
$query = "SELECT rol, password from registro WHERE usuario = ?"; /*NUNCA uses este formato '$var'
Ya que puede traer muchos problemas por hackeos.*/

$conexion = //Aqui debes colocar la funcion que te abre la conexión dentro de conecta.php
$stmt = $conexion->prepare($query); //Preparamos la consulta
$stmt->bind_params("s", $usuario); // Le damos los parametros a usar
$stmt->execute(); //ejecutamos la consulta
$rows = $stmt->get_result()->fetch_assoc(); // Obtenemos los resultados y los guardamos en $rows.
if ($rows) {
    // Verificar password
    if(password_verify($password, $rows['password'])) {
        // Guarda en sesión nombre y rol, lo vas a necesitar en otras páginas
        $_SESSION['usuario'] = $usuario;
        $_SESSION['rol'] = $rows['rol'];
        // Comparar dato
        if($rows['rol'] == 1) {
            header("Location: admin/menu.php");
        }
else if ($rows['rol'] == 2) {



 $consulta="SELECT * FROM datos WHERE id_prof='".$_SESSION['usuario']."'";
        $respuesta=mysqli_query($conexion,$consulta);
            if(!$respuesta){
                die('Algo salio mal'.mysqli_error($conexion));
                    else
                    {                  if(!$rowlocal=mysqli_fetch_array($respuesta)){
                            header("location:profesor/datos.php");
                        }else{ //MUCHO CUIDADO CON LAS LLAVES.
                            header("location:profesor/index.php");
                          }
                    }
            }
                
            

            header("Location: profesor/index.php");
             exit; //SIEMPRE USA EXIT; cuando redireccionas por header()
        }
        else {
            header("Location: investigaciones.php");
              exit;
        }
        // No es necesario finalizar la ejecución del script, 
         }
}
}// Aqui finaliza el else. Debido a que si no hay error en la BD, pues que continue ejecutando.
?>
    <script type="text/javascript">
    alert("intentelo de nuevo O solicita registro");
    window.location.href="index.html";
    </script>

Podes ver mas sobre statements preparados aquí. Y así estaría. Si no funciona algo escribime. No tengo problemas en explicar. Soy aficionado :D

Y aca abajo te adjunto que deberias de tener dentro de conecta.php

<?php

function OpenCon(){

     $dbhost = "localhost";
     $dbuser = "user";
     $dbpass = "password";
     $db = "database";

     $conexion = new mysqli($dbhost, $dbuser, $dbpass,$db);

     if($conn === false){
        die("ERROR: Could not connect. " . mysqli_connect_error());
    }

     return $conn;
}

function CloseCon($conexion){
     mysqli_close($conexion);
}

?>

Por lo tanto, si te fijas en el codigo que yo te corregí, encontrarás que en un momento te pongo entre corchetes:

//Aqui debes colocar la funcion que te abre la conexión dentro de conecta.php

Bueno, esto se traduce a que debes colocar:

$conexion = OpenCon();
#Sigue el codigo.

Eso es todo. Recordá chequear POR FAVOR los corchetes.