TypeError no Python, preciso modificar um string

Ao fazer:

boardnumFrom = input('Qual fileira voce esta? ')

A variável boardnumFrom será uma string, pois é isso que input retorna. Depois, você passa essa string para a função mover:

mover(boardnumFrom, boardnumTo, positionFrom, positionTo)

E dentro desta função, tenta mudar uma posição desta string:

boardnumFrom[positionFrom] = '[]'

Só que em Python strings são imutáveis e você não pode mudar nenhuma posição da mesma. Qualquer tentativa de fazê-lo dará esse erro que você viu. Ex:

s = 'uma string qualquer'
s[1] = 'x' # TypeError: 'str' object does not support item assignment

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Enfim, essa é a causa do erro. Dito isso, acho que você deveria rever tudo que está fazendo.

Primeiro, o tabuleiro não deveria estar dividido em 8 dicionários diferentes. Porque não usar simplemente uma lista de listas?

Além disso, para denotar uma posição vazia, você está usando [], que é uma lista vazia (e não uma string). Mas como as peças são strings, então por que não fazer a posição vazia ser uma string também? Poderia ser um espaço em branco, por exemplo (' '). Ficaria assim:

def setBoard():
    def peoes():
        return ['P'] * 8
    def pecas(): # desculpe, não sei se essa fileira tem um nome específico
        return ['T', 'N', 'B', 'Q', 'K', 'B', 'N', 'T']

    # tabuleiro 8 x 8: é uma lista com 8 elementos, sendo que cada elemento é uma lista com 8 espaços em branco

    # primeiro cria as 4 fileiras vazias do "meio"
    tabuleiro = [[' '] * 8 for _ in range(4)]
    # white
    tabuleiro.insert(0, pecas())
    tabuleiro.insert(1, peoes())
    # black
    tabuleiro.append(peoes())
    tabuleiro.append(pecas())
    return tabuleiro

def imprime(tabuleiro):
    def separador():
        print('+'.join(['---'] * 9))

    def letras():
        print(' ', ' | '.join(chr(ord('a') + i) for i in range(8)), sep='', end=' |n')
        separador()

    letras()
    i = 7
    while i >= 0:
        linha = tabuleiro[i]
        print(' ', ' | '.join(linha), sep='', end='')
        print(f' | {i + 1}')
        separador()
        i -= 1

def mover(tabuleiro, colunaFrom, linhaFrom, colunaTo, linhaTo):
    def converteColuna(c): # converte a-h para 0-7
        return ord(c) - ord('a')

    colOrig = converteColuna(colunaFrom)
    linOrig = int(linhaFrom) - 1
    # move a peça para a nova posição
    tabuleiro[int(linhaTo) - 1][converteColuna(colunaTo)] = tabuleiro[linOrig][colOrig]
    # deixa a posição original vazia
    tabuleiro[linOrig][colOrig] = ' '

tabuleiro = setBoard()
while True:
    imprime(tabuleiro)
    piece = input("Deseja sair? s/n > ")
    if piece == 's':
        print('Adeus, obrigado por jogar.')
        break
    else:
        colunaFrom = input('Qual coluna você está? (a-h) ')
        linhaFrom = input('Qual linha você está? (1-8) ')
        colunaTo = input('Para qual coluna você vai? (a-h) ')
        linhaTo = input('Para qual linha você vai? (1-8) ')
        mover(tabuleiro, colunaFrom, linhaFrom, colunaTo, linhaTo)

Claro que há muito o que melhorar. Eu não verifico se as posições digitadas são válidas, nem se a posição de origem tem uma peça, ou se a posição de destino já está ocupada (sem contar que precisaria verificar se o movimento é válido para a peça escolhida, e só apresentar os movimentos válidos como opções, por exemplo).

Mas só de ter o tabuleiro mais organizado, já ajuda bastante. Escolher a estrutura de dados adequada é meio caminho andado para um código melhor.