Como usar o somatório em Julia?

Uma sugestão para solucionar equações complexas é "quebrá-las" em partes menores, depois ir montando e testando o programa aos poucos, para cada item que você insere, e evitar chegar no final e ocorrer um erro que vai ser difícil de localizar (e isso vale para qualquer linguagem de programação).

Vamos lá!

Supondo que a declaração das variáveis esteja correta, para montar a função objetivo você pode seguir os seguintes passos:

A partir da equação original:

Montando apenas a primeira parte:

O código fica da seguinte forma:

@objective(Model1, Min, sum(CR[widx] 
                            for widx in W))

Você também pode colocar tudo em uma linha só, porém, desta forma fica mais fácil para visualizar.

Neste ponto, a dica é utilizar nomes diferentes para as variáveis do looping (widx, por exemplo, ao invés de w que pode ser confundido com W).

Em seguida, acrescentar a parte da equação que está dentro do primeiro parênteses:

@objective(Model1, Min, sum(CR[widx] * (r[aidx, tidx] + o[aidx, tidx]) 
                            for widx in W for aidx in A for tidx in T))

Aqui, já foram incluídas as duas variáveis restantes da somatória a e t, com os nomes aidx e tidx, respectivamente.

Os 3 loopings da primeira somatória (a,w,t) já estão definidos, então fica mais simples para montar o restante dessa primeira somatória:

@objective(Model1, Min, sum(CR[widx] * (r[aidx, tidx] + o[aidx, tidx]) + 
                            CO[widx] * o[aidx, tidx]) 
                            for widx in W for aidx in A for tidx in T))

---

A segunda somatória segue a mesma linha de desenvolvimento (somada com a primeira):

@objective(Model1, Min, sum(CR[widx] * (r[aidx, tidx] + o[aidx, tidx]) +
                            CO[widx] * o[aidx, tidx] 
                            for widx in W for aidx in A for tidx in T) + 
                        sum(CR[widx] 
                            for widx in W))
                        

Após acrescentar o índice widx da segunda somatória e testar, basta acrescentar a próxima variável t (definida no código como tidx) e terminar de montar a equação completa:

@objective(Model1, Min, sum(CR[widx] * (r[aidx, tidx] + o[aidx, tidx]) +
                            CO[widx] * o[aidx, tidx] 
                            for widx in W for aidx in A for tidx in T) +
                        sum(CR[widx] * (wr[widx, tidx] + wo[widx, tidx]) +
                            CO[widx] + wo[widx,tidx] 
                            for widx in W for tidx in T))
                            

Supondo que o seu modelo não tenha nenhuma restrição (constraint), basta chamar a função de otimização:

julia> optimize!(Model1)
Welcome to the CBC MILP Solver
Version: 2.10.3
Build Date: Jan  1 1970

command line - Cbc_C_Interface -solve -quit (default strategy 1)
Empty problem - 0 rows, 3060 columns and 0 elements
Optimal - objective value 0
Optimal objective 0 - 0 iterations time 0.002
Total time (CPU seconds):       0.03   (Wallclock seconds):       0.03

E verificar o resultado final da otimização:

julia> termination_status(Model1)
OPTIMAL::TerminationStatusCode = 1

---

Outra dica é que o parâmetro with_optimizer dentro da função Model agora é obsoleto, portanto, você pode definir o seu model da seguinte forma:

Model1 = Model(Cbc.Optimizer)

E para definir os vetores, você pode utilizar vírgula ,, ao invés de ;.
Exemplo:

CR = [11, 11, 11, 11, 11]