Cadastrar no banco de dados quando o usuário fecha janela do navegador

Estou desenvolvendo um sistema que precisa ter registrado o tempo que o usuário ficou logado no site. Quando ele faz um login eu cadastro no MySQL a hora do login e seu ID, o problema está na hora que ele fecha o navegador, em JQuery tentei usar beforeunload:

window.addEventListener('beforeunload', (event) => {
  //faço um post para alimentar o banco de dados
});

Dessa forma que fiz funciona quando o usuário da um F5 ou escreve um novo endereço na barra do navegador. Mas não esta funcionando quando o usuário fecha o navegador (pelo X).

Existe uma outra forma para contornar isso? Talvez algo pelo lado do servidor (estou usando PHP e session para o login), ou uma função em Jquery que detecta o fechar?