"Aquele email que respondi a pouco" ou "aquele email que respondi há pouco"? Qual a forma correta?

"Há" é o presente do indicativo do verbo "haver", e "haver é sinônimo de "ter" na linguagem coloquial. Veja que "Aquele e-mail que respondi tem pouco" faz sentido (embora você possa não gostar do estilo demasiado informal).

Quando é o caso de usar "a" ?

Em quatro casos:

1. O nome da letra "a", ou quando é usado para substituir algo desconhecido ou que não se quer definir: "O a é a primeira letra do alfabeto", "Nesse caso, a é o dobro de b", "O deputado a votou contra a proposta do deputado b".

2. Quando é sinônimo de "primeiro" ou de "dez": "O item A", "Tirei A na prova".

3. Quando é artigo feminino singular: "Onde está a carta que escrevi há pouco?" Veja que aqui a substituição por "ter" é impraticável:

*"Onde está tem carta que escrevi há pouco?"

Como é artigo, flexiona em gênero: "Onde está o e-mail que escrevi há pouco?", então é fácil de verificar se a gente substituir o substantivo por um substantivo mascuino.

4. Quando é preposição: "Onde está o e-mail que tenho de mandar daqui a meia-hora?". Veja que aqui de novo "tem" não pode ser usado:

*"Onde está o e-mail que tenho de mandar daqui tem meia-hora?"

E nem mudar o gênero do substantivo faz com que esse "a" vire "o":

*"Onde está o e-mail que tenho de mandar daqui o meio-minuto?"

E, finalmente, existe o temido "à", que é uma contração dos dois casos anteriores, preposição e artigo:

"Onde está o e-mail que tenho de mandar à procuradora-geral do município?"

Veja que aqui a substituição por tem é de novo impossível:

*"Onde está o e-mail que tenho de mandar tem procuradora-geral do município?"

Mas como há um artigo envolvido, mudar o gênero do substantivo faz sentido, mas tem efeito sobre a palavra:

"Onde está o e-mail que tenho de mandar ao procurador-geral do município?"

Por outro lado, a preposição "a" é um sinônimo aproximado da preposição "para" - e por isso "à" deve ser empregado quando é possível a substituição por "para a":

"Onde está o e-mail que tenho de mandar para a procuradora-geral do município?"

E, finalmente, a preposição "a" é um antônimo aproximado da preposição "de", de modo que nos casos em que há movimento implicado, o movimento contrário resulta em "de" quando a gente deve usar "a", e em "da" (preposição mais artigo), quando a gente deve usar "à":

"Onde está o e-mail que tenho de enviar a São Paulo?"

"Onde está o e-mail que recebi de São Paulo?"

Mas

"Onde está o e-mail que tenho de enviar à Paraíba?"

"Onde está o e-mail que recebi da Paraíba?"