Dubbio su consecutio temporum

Essendomi spesso trovato dall'altra parte, cioè nel ruolo di docente a cui scrivono così, ecco l'impressione che faresti: sicuramente un testo così è meglio di uno sciatto o di qualcosa che sembra un messaggino su WhatsApp, ma la sensazione è che cerchi di gestire un registro linguistico che non ti è abituale e che non è affatto necessario in questa situazione.

È molto meglio se scrivi un messaggio formale, corretto, usando il lei (ma non il Lei) e in cui vai subito al dunque. Per esempio, "Dovrei completare l'esame XXX... Sarebbe possibile il giorno YYY?" Naturalmente non dimenticare di iniziare e concludere come si deve (Gentile prof. ZZZ ... Un cordiale saluto, Nome Cognome; o qualcosa di analogo).

Lo so che non era questo che volevi sentirti dire, ma se ti infili in un groviglio di congiuntivi da cui non sai come uscire (e anch'io avrei i miei dubbi), forse la conclusione più assennata è non cominciare nemmeno.

Infine, un'osservazione secondaria: la forma "volevo..." è corretta, ma può fare sorridere. Viene da pensare: "Volevi... E ora non vuoi più?"