»jemand(em) schreiben« vs. »an jemand(en) schreiben«

M.E. ist die Erklärung am Anfang zutreffend. Beides ist korrekt, aber 'an' hat einen etwas formellen Charakter. Entsprechend passt es auch das Kafka einen "Brief an den Vater schreibt" (das Verhältnis der beiden ist auch eher formell/steif), während ich meiner Schwester einfach mal so "einen Brief schreib".

Ich finde beide Varianten fast gleichwertig.

Für den Sonderfall eines Textes, der zwar als Brief (oder sonstiges Schreiben) an jemanden konzipiert ist, aber nicht wirklich an diesen geschickt werden soll, tendiert mein Sprachgefühl (habe bislang leider keine bessere Referenz) klar zur Version mit "an". D.h. ich glaube, Kafka hätte gesagt "Ich schreibe einen Brief an meinen Vater", und nicht "Ich schreibe meinem Vater".

Ansonsten finde ich, ähnlich wie Loong in seiner Antwort, daß die Version mit "an" üblicher ist, wenn der Adressat eine Institution ist, und die Version mit Dativ, wenn es sich um eine Person handelt. Man kann sogar mit dieser Nuance spielen:

Ich schreibe dem Finanzamt.

Dieser Satz klingt ein wenig so, als ob der Sprecher sich das Finanzamt wie eine konkrete Person vorstellt.

Zur der hier am Rande berührten Frage, ob man jemand oder jemandem schreibt, gibt es Antworten in Beugt man jemand oder niemand mit Endung?

Man kann grundsätzlich sowohl „jemandem schreiben“ als auch „an jemanden schreiben“ sagen. Im Duden – Deutsches Universalwörterbuch stehen für das Verb schreiben mit der Bedeutung „eine schriftliche Nachricht senden; sich schriftlich an jemanden wenden“ gleich als erste Beispiele

du hast deinen Eltern lange nicht geschrieben
du hast an deine Eltern lange nicht geschrieben

In Duden – Richtiges und gutes Deutsch wird erklärt, dass die Konstruktion mit an hervorhebt, dass man sich in einer bestimmten Angelegenheit an einen Adressaten (z. B. an eine Behörde oder öffentliche Stelle) wendet. Hierzu findet man im Duden – Stilwörterbuch das Beispiel

er hat an das Finanzamt [einen Beschwerdebrief] geschrieben

Ebenda findet man auch ein Beispiel für den umgekehrten Fall, dass die Konstruktion ohne an bevorzugt wird:

sie hat mir [einen Brief] geschrieben

Weitere Konstruktionen ohne an sind erweiterte Ausdrücke wie „jemandem [etwas] über jemanden/etwas schreiben“ oder „jemandem [etwas] von jemandem/etwas schreiben“.

sie hat mir nur wenig von dir geschrieben
sie hat mir nur wenig von der Sache geschrieben
er schrieb mir über dich
er schrieb mir über deine Pläne

Beide Formen sind gleichwertig und werden in allen gängigen Nachschlagewerken nebeneinander geführt.