javascriptでrejectを実装する方法

そもそも下記のコード動くはrejectが定義されていないと出ます。

私の環境では下記のようにすれば問題なく動いています。

function reject(array, iteratorFunction) {
  return array.filter((element) => {
      return !iteratorFunction(element);
  });
}

var numbers = [10, 20, 30];
var lessThanFifteen = reject(numbers, function(number){
 return number > 15;
});
lessThanFifteen;

下記が正解なのですが、構文がやはり分からないです。
iteratorFunctionこれは無名関数のようなものですか。

おそらく構文がわかっていないのでなく、無名関数が理解できていないようです。
ご質問内の無名関数は

function(number){
 return number > 15;
}

と

(element) => {
      return !iteratorFunction(element);
}

です。

無名関数は匿名関数とも呼ばれるので、両方のワードで検索すると理解がもっと進むかと思います（以降で簡単に無名関数の説明をします）。

多くの入門書では関数に名前を付けて定義しています。

function hoge() {
  // なにか処理
}

↑このような感じです（この関数の名前はhoge）。しかし関数の作り方は名前を付けなくてもできます。

function() {
  // なにか処理
}

↑無名関数。functionと()の間に名前が書いてありませんから、名前はありません。名前がないのでこれが無名関数です。

さて、ではなぜ無名関数を使うのでしょうか。JavaScriptのような関数型言語のパラダイム（考え方）を取り入れた言語では、「関数に関数が渡せる」ということがとても重要な考え方のひとつとなります。こういったものを「高階関数」といいます。

ご質問のコード内では

function(number){
 return number > 15;
}

という実引数が、reject関数のiteratorFunction仮引数に渡ってきているのです。
実際にこの無名関数が実行されるのは return !iteratorFunction(element); の行が評価されるタイミングです。

名前を付けた関数をreject関数に渡すことも可能ですが、名前をいちいちつけるのは手間なので、無名関数として渡すテクニックが多く見受けられます。

関数型言語、高階関数、無名関数といったテクニックをマスターするのはすぐにできることではありません（おそらくもっとシンプルな例をたくさん試すのが良いと思います）。
英語ですが、Can Your Programming Language Do This? – Joel on Software はこれらの関数言語型のアプローチの理解の助けになりますので、読了されることをおすすめします。

上記を踏まえたうえでもう一度

iteratorFunctionこれは無名関数のようなものですか。

について短く回答すると、iteratorFunctionには無名関数の処理が渡ってきていますが、無名関数ではありません。という回答になります。

そして

!iteratorFunctionの前にあるビックリマークがおそらくFalseの場合にリターンを意味すると思うのですが、これはiteratorFunction(element)を実行して返ってくる変数に対して行われているんですか？

! は真偽値を反転させるためのものなので、「Falseの場合にリターンを意味する」というような場合わけはありません。リターンの役割を担っているのはreturn自体です。真偽値の反転はiteratorFunction(element)の返り値に対して行われています。