Общий член простых предложений

Нужна ли запятая в скобках, или "Таким образом" является общим членом двух простых предложений в составе сложного?

Для начала: в Вашем вопросе запятая тоже не нужна. ))) Это вопросительное ССП.

По сути же вопрос задан не совсем верно. "Таким образом" не относится к придаточным и общим членом служить не может, но запятая тем не менее скорее всего не нужна. Причина в том, что эти придаточные выглядят однородными и соединенными союзом "И" (см. - Серж). Так что на сайте как минимум - не ошибка.

В порядке обсуждения. Вопрос, скорее в другом: будет ли ошибкой написание с запятой. И вот тут ответить наверняка не могу. Дело в том, что однородность придаточных не совсем очевидна - невозможно подобрать общий для обоих придаточных вопрос к основной части, по смыслу они отвечают на вопрос "Кто?" или "Какой?", но грамматика у них другая. Так что, если автору очень хочется, полагаю, запятую можно оставить как "авторский" знак.
Но если такого желания нет, то лучше, конечно, без запятой.

(+) Не поленился, нашел этот текст. Он грамотно написан в целом, причин для оригинальной авторской пунктуации там не просматривается. Так что запятой там действительно не нужно. Мою реплику о возможности запятой можно отнести к чисто умозрительным рассуждениям. Но возник другой вопрос, уместно ли там использование "таким образом" - возможно, это и вызвало затруднение у автора вопроса. По контексту этот оборот не относится к биографии персонажа, он означает, что автор установил этот факт исходя из вышеприведенных фактов. Надо бы так: "Таким образом установлено, что...." - ну и в таком виде становится очевидным, что это "таким образом" никаким образом не связано с придаточными.