Буква Й при делении на слоги

но что если после Й идёт гласная, например майор и фойе?

Все очень просто. На сайте - грубая ошибка. Можно, конечно, как сейчас говорят, "найти отмазку", приняв за факт, что речь-де идет о предыдущем слоге, а Й перед гласной к нему заведомо не относится, но тогда практический смысл самого "правила" исчезает, превращаясь в бесполезную мантру "когда все известно, то так и надо". То есть, надо думать, что не это имели в виду изобретатели рассматриваемого правила. К сожалению, подобные ляпы на сайтах разных самоделкиных - не новость. Могу только в который уж раз дать рекомендацию не связываться с неавторитетными источниками, как бы красиво они не выглядели.

На самом деле существуют несколько точек зрения на природу слога, принцип слогоделения, соответственно, - разный, в некоторых случаях рекомендации представителей разных школ не совпадают. Но это всё академический уровень, наш же случай прост и очевиден. И в академических, и в школьных методиках Й перед гласной обозначает согласный звук йот, который очевидным образом принадлежит "следующему" слогу.

Еще одно некорректное утверждение - в отношении букв Ъ и Ь, которые никаких звуков сами по себе не обозначают. Но слоги-то состоят из звуков. Так каким образом предлагается относить к ним ноль звука? Кстати, в отношении буквы Й в отдельных случаях можно спросить нечто подобное. По одной из научных школ - и это попало даже в некоторые школьные учебники - буква Й в словах типа "папайя", "алилуйя", Гийю "имя собственное", тейю (род ящериц) - и по некоторым теориям даже "бойи" (племя) - обозначает ноль звука, поскольку "йот" порождается последующей гласной буквой. Все это совершенно не отражено в правиле.

И последнее замечание. В школе слогоделение изучают главным образом в связи с правилами переноса. Это несколько оправдывает авторов материалов, подобных представленному. Если речь идет только о переносе, без претензий на объяснение самой природы слога (а, судя по всему, ваши материалы как раз такого сорта) ляпы источника не столь заметны, и представление о "немой" букве, входящей в "слог", можно до какой-то степени оправдать, но тогда возникает другое недоразумение. Слогоделение для целей орфографии (переноса) и реальное, звуковое, слогоделение не совпадают. Раньше учили, да и до сих пор иногда учат, что перенос осуществляется "по слогам" (за очень немногими исключениями). Сейчас, особенно после появления лет тридцать назад продвинутых методов компьютерной верстки, от такого подхода лучше отказаться.

Все современные (нежесткие) правила переноса исчерпывающе формулируются в шести пунктах. (по памяти даю).

~1. Нельзя переносить или оставлять неперенесенной одну букву и сочетания Й+гласная в абсолютном начале и конце слова (слова типа фойе, Гойя, иогурт не переносятся).
~2. Нельзя разрывать переносом сочетание С(огласная)+Г(ласная), буквы Ъ, Ь и Й оговариваются особо.
~3. Ь и Ъ всегда остаются на непереносимой части строки, перенос по границе сочетаний ЙА, ЙИ, ЙУ, ЙЕ, ЙО возможен тогда и только тогда, когда перед Й идет гласная (перенос слов типа гайярдия или зухдийят по границе ЙЯ не нормирован).
~4. Нельзя отрывать приставку от корня, если он начинается с гласной (вытекает из 1), но нельзя в этих случаях и отрывать одну букву от приставки: перенос типа ра-зыскивать запрещен (хотя последнее часто не выдерживается).
~5. В составных словах типа "пароход" следует придерживаться структуры слова перенос па-роход не рекомендуется (этот пункт часто не выдерживается).
~6. Перенос составных слов с дефисом рекомендуется выполнять по дефису (раньше, наоборот, исключалось), повторения дефиса на новой строке по современным правилам не требуется. Нельзя переносить по дефису части слова, не являющиеся корнем (по-русски, как-то, кое-кто).
Дополнительно: ~7. Имена собственные, особенно плохо знакомые читающему, переносить не рекомендуется.

Кажется, все. За исключением, возможно, каких-то совсем уж редких случаев. Если вы реально хотите иметь алгоритм, пригодный к реализации и более или менее адекватный правилам, то настоятельно советую использовать эти шесть или семь пунктов вместо всех заморочек со слогоделением, которые ко всему прочему не учитывают некоторых особенностей правил (начиная с четвертого).

Надеюсь, что ответил если не строго по букве вопроса, то по сути.

(+)

Согласные буквы, образующие один звук, нельзя разносить в разные слоги. Один звук образуют сочетания

Полагаю, это правило надуманное. Ко всему прочему его очень трудно корректно организовать: Ботсвана - здесь один звук или два? А "разжечь"?

(++) Ой, забыл сразу написать.

Согласные буквы, образующие один звук, нельзя разносить в разные слоги. Один звук образуют сочетания зж [ж:], тся, ться [ц:].

Сочетания "тся", "ться" образуют один звук?! Убивать надо за такое. И это в материале, претендующем на право считаться методикой?!