Как лучше писать и редактировать свой код, если команда работает через Git Lab и тестовый сайт залит в его репозиторий?

От того, находится ли код на gitlab или github, то как Вы пишите код и как его тестируете не меняется. Вы можете продолжать пользоваться своими любимыми инструментами. Главное не забывать "пушить" готовые фичи.

да, такой человек может быть и называется build engenier или devops. В самом простом случае просто копируют скрипты на сервер и готово (но так делать не модно и на больших кодовых базах могут быть проблемы). Сейчас модно использовать CI/CD системы с докерами и kubernetes. И когда все настроено, то деплой - это просто нажать одну кнопку.